3.14 Solution: Threads

#lang racket

;; a model of channel-based communication in a by-value language with threads

(require redex "common.rkt")

(define-language Lambda

(e ::=

x (lambda (x_!_ ...) e) (e e ...)

n (+ e e)

(if0 e e e)

(spawn e)

(put c e)

(void)

(get c))

(n ::= number)

(c ::= variable-not-otherwise-mentioned)

(x ::= variable-not-otherwise-mentioned))

;; auxiliary syntax

;; a metafunction that acts like a macro in Lambda-calculus

;; exercise 3 from Monday afternoon

(define-metafunction Lambda

;;  let : ((x e) ...) e -> e but e plus hole

let : ((x any) ...) any -> any

[(let ([x_lhs any_rhs] ...) any_body)

((lambda (x_lhs ...) any_body) any_rhs ...)])

;; -----------------------------------------------------------------------------

;; examples

(define e0 (term (put x 5)))

(define e1 (term (get x)))

(define e2 (term (let ([_a (spawn ,e0)] [_b (spawn ,e1)]) 1)))

(define p0 (term (let ([c y]) ,e2)))

(module+ test

(test-equal (redex-match? Lambda e e0) #true)

(test-equal (redex-match? Lambda e e1) #true)

(test-equal (redex-match? Lambda e p0) #true))

;; -----------------------------------------------------------------------------

;; a standard reduction relation

(define-extended-language Lambda-calculus Lambda

(s ::= (e ...))

(v ::= n c (void) (lambda (x ...) e))

(E ::= hole

(v ... E e ...)

(+ v ... E e ...)))

(define s1 (term (,e0 ,e1 ,e1)))

(module+ test

(test-equal (redex-match? Lambda-calculus s s1) #true)

(test-->> s-->comm #:equiv =α/racket

(term (,p0))

(term (1 5 (void)))))

(define s-->comm

(reduction-relation

Lambda-calculus

(--> (e_1 ... (in-hole E ((lambda (x ..._n) e) v ..._n)) e_2 ...)

(e_1 ... (in-hole E (subst ([v x] ...) e)) e_2 ...)

βv)

(--> (e_1 ... (in-hole E (spawn e)) e_2 ...)

(e_1 ... (in-hole E (void)) e e_2 ...)

spawn)

(--> (e_1 ... (in-hole E (get x)) e_2 ... (in-hole E (put x v)) e_3 ...)

(e_1 ... (in-hole E v) e_2 ... (in-hole E (void)) e_3 ...)

message-left)

(--> (e_1 ... (in-hole E (put x v)) e_2 ... (in-hole E (get x)) e_3 ...)

(e_1 ... (in-hole E v) e_2 ... (in-hole E (void)) e_3 ...)

message-right)

(--> (e_1 ... (in-hole E (+ n_1 n_2)) e_2 ...)

(e_1 ... (in-hole E ,(+ (term n_1) (term n_2))) e_2 ...)

+)

(--> (e_1 ... (in-hole E (if0 0 e_then e_else)) e_2 ...)

(e_1 ... (in-hole E e_then) e_2 ...)

if0-true)

(--> (e_1 ... (in-hole E (if0 v e_then e_else)) e_2 ...)

(e_1 ... (in-hole E e_then) e_2 ...)

(where #false (zero? (term v)))

if0-false)))

(module+ main

(traces s-->comm s1))

;; -----------------------------------------------------------------------------

(module+ test

(test-results))

;;; ------------------------------------------------------------

;;; common.rkt starts here

#lang racket

;; basic definitions for the Redex Summer School 2015

(provide

;; Language

Lambda

;; Any -> Boolean

;; is the given value in the expression language?

lambda?

;; x (x ...) -> Boolean

;; (in x (x_1 ...)) determines whether x occurs in x_1 ...

in

;; Any Any -> Boolean

;; (=α/racket e_1 e_2) determines whether e_1 is α-equivalent to e_2

;; e_1, e_2 are in Lambda or extensions of Lambda that

;; do not introduce binding constructs beyond lambda

=α/racket

;; ((Lambda x) ...) Lambda -> Lambda

;; (subs ((e_1 x_1) ...) e) substitures e_1 for x_1 ... in e

;; e_1, ... e are in Lambda or extensions of Lambda that

;; do not introduce binding constructs beyond lambda

subst)

;; -----------------------------------------------------------------------------

(require redex)

(define-language Lambda

(e ::=

x

(lambda (x_!_ ...) e)

(e e ...))

(x ::= variable-not-otherwise-mentioned))

(define lambda? (redex-match? Lambda e))

(module+ test

(define e1 (term y))

(define e2 (term (lambda (y) y)))

(define e3 (term (lambda (x y) y)))

(define e4 (term (,e2 e3)))

(test-equal (lambda? e1) #true)

(test-equal (lambda? e2) #true)

(test-equal (lambda? e3) #true)

(test-equal (lambda? e4) #true)

(define eb1 (term (lambda (x x) y)))

(define eb2 (term (lambda (x y) 3)))

(test-equal (lambda? eb1) #false)

(test-equal (lambda? eb2) #false))

;; -----------------------------------------------------------------------------

;; (in x x_1 ...) is x a member of (x_1 ...)?

(module+ test

(test-equal (term (in x (y z x y z))) #true)

(test-equal (term (in x ())) #false)

(test-equal (term (in x (y z w))) #false))

(define-metafunction Lambda

in : x (x ...) -> boolean

[(in x (x_1 ... x x_2 ...)) #true]

[(in x (x_1 ...)) #false])

;; -----------------------------------------------------------------------------

;; (=α e_1 e_2) determines whether e_1 and e_2 are α equivalent

(module+ test

(test-equal (term (=α (lambda (x) x) (lambda (y) y))) #true)

(test-equal (term (=α (lambda (x) (x 1)) (lambda (y) (y 1)))) #true)

(test-equal (term (=α (lambda (x) x) (lambda (y) z))) #false))

(define-metafunction Lambda

=α : any any -> boolean

[(=α any_1 any_2) ,(equal? (term (sd any_1)) (term (sd any_2)))])

;; a Racket definition for use in Racket positions

(define (=α/racket x y) (term (=α ,x ,y)))

;; (sd e) computes the static distance version of e

(define-extended-language SD Lambda

(e ::= .... (K n))

(n ::= natural))

(define SD? (redex-match? SD e))

(module+ test

(define sd1 (term (K 1)))

(define sd2 (term 1))

(test-equal (SD? sd1) #true))

(define-metafunction SD

sd : any -> any

[(sd any_1) (sd/a any_1 ())])

(module+ test

(test-equal (term (sd/a x ())) (term x))

(test-equal (term (sd/a x ((y) (z) (x)))) (term (K 2 0)))

(test-equal (term (sd/a ((lambda (x) x) (lambda (y) y)) ()))

(term ((lambda () (K 0 0)) (lambda () (K 0 0)))))

(test-equal (term (sd/a (lambda (x) (x (lambda (y) y))) ()))

(term (lambda () ((K 0 0) (lambda () (K 0 0))))))

(test-equal (term (sd/a (lambda (z x) (x (lambda (y) z))) ()))

(term (lambda () ((K 0 1) (lambda () (K 1 0)))))))

(define-metafunction SD

sd/a : any ((x ...) ...) -> any

[(sd/a x ((x_1 ...) ... (x_0 ... x x_2 ...) (x_3 ...) ...))

;; bound variable

(K n_rib n_pos)

(where n_rib ,(length (term ((x_1 ...) ...))))

(where n_pos ,(length (term (x_0 ...))))

(where #false (in x (x_1 ... ...)))]

[(sd/a (lambda (x ...) any_1) (any_rest ...))

(lambda () (sd/a any_1 ((x ...) any_rest ...)))]

[(sd/a (any_fun any_arg ...) (any_rib ...))

((sd/a any_fun (any_rib ...)) (sd/a any_arg (any_rib ...)) ...)]

[(sd/a any_1 any)

;; free variable, constant, etc

any_1])

;; -----------------------------------------------------------------------------

;; (subst ([e x] ...) e_*) substitutes e ... for x ... in e_* (hygienically)

(module+ test

(test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) x)) 1)

(test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) y)) 2)

(test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) z)) (term z))

(test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) (lambda (z w) (x y))))

(term (lambda (z w) (1 2))))

(test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) (lambda (z w) (lambda (x) (x y)))))

(term (lambda (z w) (lambda (x) (x 2))))

#:equiv =α/racket)

(test-equal (term (subst ((2 x)) ((lambda (x) (1 x)) x)))

(term ((lambda (x) (1 x)) 2))

#:equiv =α/racket)

(test-equal (term (subst (((lambda (x) y) x)) (lambda (y) x)))

(term (lambda (y1) (lambda (x) y)))

#:equiv =α/racket))

(define-metafunction Lambda

subst : ((any x) ...) any -> any

[(subst [(any_1 x_1) ... (any_x x) (any_2 x_2) ...] x) any_x]

[(subst [(any_1 x_1) ... ] x) x]

[(subst [(any_1 x_1) ... ] (lambda (x ...) any_body))

(lambda (x_new ...)

(subst ((any_1 x_1) ...)

(subst-raw ((x_new x) ...) any_body)))

(where  (x_new ...)  ,(variables-not-in (term (any_body any_1 ...)) (term (x ...)))) ]

[(subst [(any_1 x_1) ... ] (any ...)) ((subst [(any_1 x_1) ... ] any) ...)]

[(subst [(any_1 x_1) ... ] any_*) any_*])

(define-metafunction Lambda

subst-raw : ((x x) ...) any -> any

[(subst-raw ((x_n1 x_o1) ... (x_new x) (x_n2 x_o2) ...) x) x_new]

[(subst-raw ((x_n1 x_o1) ... ) x) x]

[(subst-raw ((x_n1 x_o1) ... ) (lambda (x ...) any))

(lambda (x ...) (subst-raw ((x_n1 x_o1) ... ) any))]

[(subst-raw [(any_1 x_1) ... ] (any ...))

((subst-raw [(any_1 x_1) ... ] any) ...)]

[(subst-raw [(any_1 x_1) ... ] any_*) any_*])

;; -----------------------------------------------------------------------------

(module+ test

(test-results))