3.4 Solution: Types

Also consult chapter III.23 in the Redex book for ideas.

#lang racket

;; a type reduction-based approach to type checking

(require redex "common.rkt")

;; -----------------------------------------------------------------------------

;; syntax

(define-language TLambda

(e ::= n x (lambda (x t) e) (e e) (+ e e))

(n ::= number)

(t ::= int (t -> t))

(x ::= variable-not-otherwise-mentioned))

(define in-TLambda? (redex-match? TLambda e))

;; -----------------------------------------------------------------------------

;; examples

(define e1

(term (lambda (x int) (lambda (f (int -> int)) (+ (f (f x)) (f x))))))

(define e2

(term

(lambda (x int)

(lambda (f ((int -> int) -> int))

(f x)))))

(define e3 (term (lambda ((x int)) (int -> int))))

(module+ test

(test-equal (in-TLambda? e1) #true)

(test-equal (in-TLambda? e2) #true)

(test-equal (in-TLambda? e3) #false))

;; -----------------------------------------------------------------------------

;; (⊢ Γ e t) -- the usual type judgment for an LC language

(define-extended-language TLambda-tc TLambda

(e ::= .... t (t -> e))

(C ::= hole (lambda (x t) C) (C e) (e C) (+ C e) (+ e C) (t -> C)))

(module+ test

(test-equal (term (tc ,e1)) (term (int -> ((int -> int) -> int))))

;; a failure -- no types are returned

(test-equal (term (tc ,e2)) #false))

(define-metafunction TLambda-tc

tc : e -> t or #false

[(tc t) t]

[(tc e)

(tc e_again)

(where (e_again e_more ...) ,(apply-reduction-relation ->tc (term e)))]

[(tc e_stuck) #false])

(define ->tc

(reduction-relation

TLambda-tc

(--> (in-hole C n) (in-hole C int))

(--> (in-hole C (+ int int)) (in-hole C int))

(--> (in-hole C (lambda (x t) e)) (in-hole C (t -> (subst ((t x)) e))))

(--> (in-hole C ((t -> t_range) t)) (in-hole C t_range))))

;; -----------------------------------------------------------------------------

(module+ test

(test-results))

;;; ------------------------------------------------------------

;;; common.rkt starts here

#lang racket

;; basic definitions for the Redex Summer School 2015

(provide

;; Language

Lambda

;; Any -> Boolean

;; is the given value in the expression language?

lambda?

;; x (x ...) -> Boolean

;; (in x (x_1 ...)) determines whether x occurs in x_1 ...

in

;; Any Any -> Boolean

;; (=α/racket e_1 e_2) determines whether e_1 is α-equivalent to e_2

;; e_1, e_2 are in Lambda or extensions of Lambda that

;; do not introduce binding constructs beyond lambda

=α/racket

;; ((Lambda x) ...) Lambda -> Lambda

;; (subs ((e_1 x_1) ...) e) substitures e_1 for x_1 ... in e

;; e_1, ... e are in Lambda or extensions of Lambda that

;; do not introduce binding constructs beyond lambda

subst)

;; -----------------------------------------------------------------------------

(require redex)

(define-language Lambda

(e ::=

x

(lambda (x_!_ ...) e)

(e e ...))

(x ::= variable-not-otherwise-mentioned))

(define lambda? (redex-match? Lambda e))

(module+ test

(define e1 (term y))

(define e2 (term (lambda (y) y)))

(define e3 (term (lambda (x y) y)))

(define e4 (term (,e2 e3)))

(test-equal (lambda? e1) #true)

(test-equal (lambda? e2) #true)

(test-equal (lambda? e3) #true)

(test-equal (lambda? e4) #true)

(define eb1 (term (lambda (x x) y)))

(define eb2 (term (lambda (x y) 3)))

(test-equal (lambda? eb1) #false)

(test-equal (lambda? eb2) #false))

;; -----------------------------------------------------------------------------

;; (in x x_1 ...) is x a member of (x_1 ...)?

(module+ test

(test-equal (term (in x (y z x y z))) #true)

(test-equal (term (in x ())) #false)

(test-equal (term (in x (y z w))) #false))

(define-metafunction Lambda

in : x (x ...) -> boolean

[(in x (x_1 ... x x_2 ...)) #true]

[(in x (x_1 ...)) #false])

;; -----------------------------------------------------------------------------

;; (=α e_1 e_2) determines whether e_1 and e_2 are α equivalent

(module+ test

(test-equal (term (=α (lambda (x) x) (lambda (y) y))) #true)

(test-equal (term (=α (lambda (x) (x 1)) (lambda (y) (y 1)))) #true)

(test-equal (term (=α (lambda (x) x) (lambda (y) z))) #false))

(define-metafunction Lambda

=α : any any -> boolean

[(=α any_1 any_2) ,(equal? (term (sd any_1)) (term (sd any_2)))])

;; a Racket definition for use in Racket positions

(define (=α/racket x y) (term (=α ,x ,y)))

;; (sd e) computes the static distance version of e

(define-extended-language SD Lambda

(e ::= .... (K n))

(n ::= natural))

(define SD? (redex-match? SD e))

(module+ test

(define sd1 (term (K 1)))

(define sd2 (term 1))

(test-equal (SD? sd1) #true))

(define-metafunction SD

sd : any -> any

[(sd any_1) (sd/a any_1 ())])

(module+ test

(test-equal (term (sd/a x ())) (term x))

(test-equal (term (sd/a x ((y) (z) (x)))) (term (K 2 0)))

(test-equal (term (sd/a ((lambda (x) x) (lambda (y) y)) ()))

(term ((lambda () (K 0 0)) (lambda () (K 0 0)))))

(test-equal (term (sd/a (lambda (x) (x (lambda (y) y))) ()))

(term (lambda () ((K 0 0) (lambda () (K 0 0))))))

(test-equal (term (sd/a (lambda (z x) (x (lambda (y) z))) ()))

(term (lambda () ((K 0 1) (lambda () (K 1 0)))))))

(define-metafunction SD

sd/a : any ((x ...) ...) -> any

[(sd/a x ((x_1 ...) ... (x_0 ... x x_2 ...) (x_3 ...) ...))

;; bound variable

(K n_rib n_pos)

(where n_rib ,(length (term ((x_1 ...) ...))))

(where n_pos ,(length (term (x_0 ...))))

(where #false (in x (x_1 ... ...)))]

[(sd/a (lambda (x ...) any_1) (any_rest ...))

(lambda () (sd/a any_1 ((x ...) any_rest ...)))]

[(sd/a (any_fun any_arg ...) (any_rib ...))

((sd/a any_fun (any_rib ...)) (sd/a any_arg (any_rib ...)) ...)]

[(sd/a any_1 any)

;; free variable, constant, etc

any_1])

;; -----------------------------------------------------------------------------

;; (subst ([e x] ...) e_*) substitutes e ... for x ... in e_* (hygienically)

(module+ test

(test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) x)) 1)

(test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) y)) 2)

(test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) z)) (term z))

(test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) (lambda (z w) (x y))))

(term (lambda (z w) (1 2))))

(test-equal (term (subst ([1 x][2 y]) (lambda (z w) (lambda (x) (x y)))))

(term (lambda (z w) (lambda (x) (x 2))))

#:equiv =α/racket)

(test-equal (term (subst ((2 x)) ((lambda (x) (1 x)) x)))

(term ((lambda (x) (1 x)) 2))

#:equiv =α/racket)

(test-equal (term (subst (((lambda (x) y) x)) (lambda (y) x)))

(term (lambda (y1) (lambda (x) y)))

#:equiv =α/racket))

(define-metafunction Lambda

subst : ((any x) ...) any -> any

[(subst [(any_1 x_1) ... (any_x x) (any_2 x_2) ...] x) any_x]

[(subst [(any_1 x_1) ... ] x) x]

[(subst [(any_1 x_1) ... ] (lambda (x ...) any_body))

(lambda (x_new ...)

(subst ((any_1 x_1) ...)

(subst-raw ((x_new x) ...) any_body)))

(where  (x_new ...)  ,(variables-not-in (term (any_body any_1 ...)) (term (x ...)))) ]

[(subst [(any_1 x_1) ... ] (any ...)) ((subst [(any_1 x_1) ... ] any) ...)]

[(subst [(any_1 x_1) ... ] any_*) any_*])

(define-metafunction Lambda

subst-raw : ((x x) ...) any -> any

[(subst-raw ((x_n1 x_o1) ... (x_new x) (x_n2 x_o2) ...) x) x_new]

[(subst-raw ((x_n1 x_o1) ... ) x) x]

[(subst-raw ((x_n1 x_o1) ... ) (lambda (x ...) any))

(lambda (x ...) (subst-raw ((x_n1 x_o1) ... ) any))]

[(subst-raw [(any_1 x_1) ... ] (any ...))

((subst-raw [(any_1 x_1) ... ] any) ...)]

[(subst-raw [(any_1 x_1) ... ] any_*) any_*])

;; -----------------------------------------------------------------------------

(module+ test

(test-results))